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二人零和有限確定完全情報ゲーム(ふたり れいわ ゆうげん かくてい かんぜんじょうほう ゲーム)は、ゲーム理論で扱われるゲームの分類のひとつである。チェス・将棋将棋のルールは現在の日本将棋連盟の[外部リンク] 対局規定に基づく。以下、将棋においてはこれに基づいたものについて述べるものとする。・オセロ・石取りゲーム(ニム)・囲碁・囲連星・連珠・五目並べ・三目並べ(○×ゲーム)などが該当し、偶然に左右されない読みの深さを競う。

◆ 概要

これに分類されるゲームの特徴は、理論上は完全な先読みが可能であり、双方のプレーヤーが最善手を打てば、必ず先手必勝か後手必勝か引き分けかが決まるという点である。実際には完全な先読みを人間が行う事は困難であるため、ゲームとして成立するが、初期ルールの五目並べは先手必勝1899年、黒岩涙香が「萬朝報」紙に必勝法を掲載した。連珠#歴史も参照。、三目並べ三目並べ#戦法のコツ参照。とチェッカー2007年、アルバータ大学の研究チームによって発表された。参照:[外部リンク] Project - Chinook - World Man-Machine Checkers Champion(同研究チームのサイト)および[外部リンク] Checkers Is Solved -- Schaeffer et al. 317 (5844): 1518 -- Science(サイエンス誌)。は引き分けになることがすでに知られている。

「二人零和有限確定完全情報ゲーム」という言葉は以下のように分解できる。

◇ 二人

ゲームを行うプレーヤーが二人のゲーム。

ゲーム理論でいうプレーヤーとはゲームを行う際にゲームの着手を決定する、意思決定する主体を指す。コンピュータであっても良く、また、最終的に意思決定が一つに定まるのであれば、二人以上のチームであっても良い。

ダイヤモンドゲーム、麻雀など、三人以上のプレーヤーが対戦するゲームは含まれない。また、ポーカー等の各種カードゲームの多くや、モノポリーや人生ゲームなど一部のボードゲームのように、プレーヤーの数が可変で二人の場合もあり得るゲームについても含めないのが一般的である。

三人以上のプレーヤーの対戦では、例えばプレーヤーをPa、Pb、Pc、とした時、Paの手がPaにとって有利な手だとしても、別のプレーヤーPbには助けとなり、Pcには損害となることがありえるが、このとき、状況としてPbがPaにとって最大の敵で、Pcはむしろ潜在的な同盟者というようなことも可能性としてはあり得るため、単純にPaの手がPaにとって有利な手だから良いとはいえない。つまり、誰にとって不利な行動をとる事が、自分にとって最も有利な行動となるのかという、自分の直接の利害以外の要素を考える必要があるため、簡単に自分の打つ手を確定することができず、コンピューターなどで完全な先読みを行うことは難しい。

◇ 零和

ゲーム上、プレーしている全プレーヤーの利得の合計が常にゼロ、または個々のプレーヤーの差す手の組合せに対する利得の合計が全て一定の数値(零和)となるゲーム。利得とはプレーヤーがゲーム終了時(あるいはターンの終了時)に獲得する状況に対する評価である。

全てのプレーヤーがゲーム中に差しうる手の組み合わせを全て考えることができるとき、全ての手の組み合わせに対して各プレーヤーがそれぞれの状況に対して評価値を定めることにより利得表を作ることができる。例えば、ルーレットのようなカジノで行うゲームでは獲得金額を利得として考えることができ、将棋やチェスなどのゲームでは勝利を1、引き分けを0、敗北を-1のように状態に数字をつけて考えることができる。利得表の合計が常にゼロのゲームでは、相手にとっての損がそのまま自分にとっての得になる。また、各状況に対する各プレーヤーの利得の合計が常に一定の定まった数値となるゲームでは、合計を0とする利得表に変換することができるので零和ゲームとして考えることができる。

ルーレットのようなカジノで行うゲームでは、各プレーヤーの利得の合計は必ずしも0あるいは一定の数値になるとは言えないため、零和のゲームとは言えないプレーヤーとして胴元も含めるとこれらのゲームでも零和となるものが多い。ただし、カリビアンスタッドポーカーのようなジャックポットのあるゲーム等では非零和となるものがある。。

将棋やチェスのような二人ゲームで、終了時の状態が、あるプレーヤーからみた場合、勝利、引き分け、敗北となるゲームについては、可能なすべての打ち手の組み合わせに対して、各プレーヤー毎に勝利を1、引き分けを0、敗北を-1と点を付けることができる場合、各手の組み合わせについて考えると、一方のプレーヤーの勝利の場合、そのプレーヤーの利得が1で相手の利得は-1となるため、その手の組み合わせの利得の合計は0となり、引き分けとなる手の組み合わせの場合は両方のプレーヤーの利得が0となるため、やはりその組み合わせの利得も合計は0となるため、結果として、ゲームの利得表の合計は常に0となることが知られている可能な手の組み合わせの総数が有限でない場合、単純に0の加算を続けるからといって合計を0と判断できない場合があるが、多くの場合は0であると考えてよい。。

零和でないゲームは、囚人のジレンマのように均衡点が最適点でなかったり、チキンゲームのように最適点が相手の行動に依存するゲームがあったりと、零和のゲームに比べて一般に複雑であり、コンピューターなどで先読みを行うことは難しいことが多い。

◇ 有限

そのゲームにおける各プレーヤーの可能な手の組み合わせの総数が有限であるゲーム。一般に各種ボードゲームや、カードゲームはゲームの途中の状態が理論上有限であるため、ある状態から別の状態に変わり、そこからまた元の状態に戻るといった反復が無限に繰り返されない限り有限のゲームとなる。

囲碁では日本囲碁規約の規定上は三劫以上の多元劫、長生、循環劫等の状態になった場合、対局者が合意しないと勝負は無限に継続される[外部リンク] 日本囲碁規約参照。第12条の「無勝負」において、両対局者の合意により無勝負となるとある。ため、厳密に言えば有限なゲームではないが、実際にはほぼ有り得ないことであり、ゲーム理論の研究では有限として研究されている。

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