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三角数(さんかくすう、triangular number)とは多角数で、正三角形の形に点を並べたときにそこに並ぶ点の総数に合致する自然数のこと。n番目の三角数は1からnまでの自然数の和に等しい。

◆概要

例えば 10 は一つの辺にものを4つ並べた時に該当するので三角数の一つである。三角数は無数にあり、最小のものは1である。

三角数はピタゴラス(学派)が考え出したものである。n番目の三角数を T_n とすると上図より

:T₁ = 1 , T_n+1 = T_n + n + 1

が導かれる。よって三角数の式は

:$T\_n\; =\; T\_1\; +\; \backslash sum\_^(k\; +\; 1)\; =\; \backslash frac\backslash quad\; (n\; \backslash ge\; 2)$

これはn=1のときも成り立つ。三角数を小さいものから順に列記すると

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300 … となる。

あらゆる自然数は高々3つの三角数の和で表されるという定理があり、ガウスによって1796年(彼の日誌によれば7月10日)に証明された。この定理は全ての自然数が高々n個のn角数の和によって表されるとするフェルマーの多角数定理の中に含まれている。

連続する三角数の和は

= \frac = (n+1)^2

となり、平方数となる。これを灰色の点がn番目の三角数、赤がn+1番目の三角数として表わすと下図のようになる。